دائما ما يعتبر الكثيرين أن كيفية إثبات علاقات الزوايا باستخدام خصائص الزوايا المتطابقة والتكميلية والتكميلية من الأمور الصعبة، لذا لابد من تعلم المفاهيم وتطبيقها على مشاكل الممارسة، لأن إثبات العلاقات بين الزوايا تجعلك تتساءل هل الوصول إلى البراهين أحيانًا يكون من الأمور الصعبة المليئة بالتعقيد؟
عند فهم التقسيم بين الزوايا والتعرف على بعض العلاقات الأساسية وخصائص الزوايا المتطابقة، يمكن ذلك المساعدة في فهم هذه القواعد وبناء أساس لاستخدام نظريات وخصائص أكثر تعقيدًا.
اثبات العلاقات بين الزوايا
خصائص الزوايا المتطابقة
الزوايا المتطابقة هي الزوايا التي لديها نفس القياس. على سبيل المثال، إذا كانت لديك زاويتان بزاوية 62 درجة، فهما زوايا متطابقة. وللزوايا المتطابقة خصائص مختلفة يمكن أن تساعدك في إثبات النتائج معها
- تعني الخاصية الانعكاسية أن الزاوية متطابقة مع نفسها، وهذا الأمر يبدو غامضا عند النظر إليه، ولكن لا يوجد معنى خفي وراء ذلك، إذ يوجد قاعدة في الهندسة تقول حرفيا أن شيئا ما يساوي نفسه
- تنص الخاصية المتماثلة على أنه إذا كانت الزاوية أ تساوي الزاوية ب، فإن الزاوية ب تساوي الزاوية أ، وتسمى هذه الخاصية متناظرة لأن الكميات على كلا جانبي علامة التساوي متساوية، وبالتالي فإن المعادلة متماثلة
- يمكن قلب A و B من جانب إلى آخر، ولا يهم، وتنص الخاصية المتعدية على أنه إذا كانت الزاوية A تساوي الزاوية B، وإذا كانت الزاوية B تساوي الزاوية C، فإن الزاوية A تساوي الزاوية C
الزوايا التكميلية والمكملة
هناك بعض النظريات حول الزوايا التكميلية والمكملة، حيث يبلغ مجموع الزوايا المكملة 90 درجة أو زاوية قائمة، ويبلغ مجموع الزوايا المكملة 180 درجة، وهي خط مستقيم.
وفقا لنظرية التكميل، فإن الزوايا المكملة لنفس الزاوية متساوية مع بعضها البعض، ومن أمثلة ذلك الزاوية (أ) والزاوية (ب)، حيث إن كل منهما يكمل الزاوية الأخرى بزاوية 64 درجة، لذلك يجب أن يكون حجم الزاوية (أ) والزاوية (ب) 26 درجة
يمكننا القول من ذلك أن الزاوية A والزاوية B متساويتان، وذلك حتى لو لم نكن نعرف قيمة أي من الزوايا، فإذا كنا لا نعرف قيمة x، فإننا نعلم أن A و B تساوي كل منهما 90 – x، وبالتالي يجب أن تكونا متساويتين.
البراهين الخطية والزاوية
أوضح المتخصصون أن هناك نقطة على المنتصف الرأسي لقطعة مستقيمة على بعد مسافة متساوية من نقاط نهايتها.
تلميح: يجب علينا إظهار أن المسافة بين AAA وDDD هي نفس المسافة بين CCC وDDD
ومثال ذلك:
- AC⊥BD : تعريف المنصف العمودي.
- AB≅CB : تعريف المنصف العمودي.
- DABDangle، A، B، D & زاوية CBD∠CBDangle، C، B، D كلاهما زوايا قائمة: تعريف العمود.
- overline{BD} cong overline{BD}BD≅BD : مقاطع الخط متطابقة مع نفسها.
- riangle ABD cong riangle CBD△ABD≅△CBD : افتراض التطابق (2 ، 3 ، 4).
إثبات نظريات الخط والزاوية
تشمل النظريات: عندما يتقاطع المستقيم مع الخطوط المتوازية بشكل مستقيم، فإن الزوايا الداخلية المتبادلة متساوية، والزوايا المقابلة لها متساوية أيضًا، والنقاط الواقعة على المحور الرأسي للقطعة المستقيمة هي تلك التي تبعي نفس المسافة من نقاط نهايتها.
تساوي الزوايا الرأسية والدليل إثبات التساوي بين الزوايا الرأسية.
الزوايا المتوافقة: إذا تم قطع سطرين بواسطة مستقيم وكانت الزوايا المقابلة لها متطابقة، فإن الخطين يكونان متوازيين
البرهان الجبري
عند البحث عن البرهان الجبري، يجب أولا التعرف على الزوايا وخصائصها المشتركة، ثم البحث عن إثبات بعض النظريات الشائعة المتعلقة بالزوايا باستخدام الرسوم التوضيحية. يتم تعريف الزاوية عندما يتقاطع خطان مستقيمان في نقطة مشتركة، ويتم قياس الزاوية بالدرجات أو الراديان
امثلة على البرهان الجبري
ويتشكل عند تقاطع خط مع مجموعة من الخطوط المتوازية زوايا تقاطع متساوية مع جميع الخطوط.
النظريات المتعلقة بالزوايا
بعد أن نعرف بعض الأمثلة على البرهان الجبري وكيفية تطبيقه، سنرى بعض النظريات الشائعة المتعلقة بالزوايا وبراهينها، ونظرية الزوايا المقابلة رأسيا التي تقول إنه عندما تتقاطع خطوط مستقيمة، فإن الزوايا المتقابلة رأسيا متساوية
نظرية الزوايا المستقيمة
لإثبات هذه النظرية، فلنفترض وجود زوج من الخطوط المستقيمة المتقاطعة التي تشكل زاوية A بينهما.
الآن، نعلم أن أي نقطتين على خط مستقيم يشكلان زاوية 180 درجة بينهما، لذا، بالنسبة لزوج من الخطوط، فإن الزوايا المتبقية على كلا الخطوط المستقيمة ستكون 180 درجة.
بالتالي، الزاوية الناقصة الأخيرة ستكون 180 – (180 – أ) = أ.
هذا يثبت أن الزوايا المتقابلة عموديًا متساوية.
نظرية الزوايا الخارجية البديلة
تشير هذه النظرية إلى أنه عندما يتقاطع المستقيم مع زوج من الخطوط المتوازية، فإن الزوايا الخارجية الواقعة على جانبي المستقيم والخطوط المتوازية تكون متساوية، وتسمى هذه الزوايا بزوايا خارجية متبادلة.
لإثبات هذه النظرية، نفترض خطًا أفقيًا يتقاطع مع خط آخر كما هو موضح في الشكل، ويشكل زاوية A بين الخطوط.
فرضًا أن هناك خطًا آخر متوازٍ للخط الأول، نظرًا لأن زاوية التقاطع بين المستعرض والخط الأول هي نفسها بالنسبة للخطوط المتوازية، فإن الزاوية بين الخط الثاني والمستعرض ستكون أيضًا A.
وفقًا للنظرية أعلاه، فإن الزوايا المتقابلة عموديًا تكون متساوية، ولذلك فإن الزاوية الخارجية المتكونة عند الخط 2 ستكون أيضًا A، وبالتالي يتم إثبات أن الزوايا الخارجية البديلة متساوية.
نظرية الزوايا الداخلية البديلة
عندما يتقاطع خطان متوازيان بخط مستقيم، تتساوى الزوايا المتكونة من الداخل بين الخطين على الجانبين المعاكسين للمستعرض، ويسمى هذا الزوج من الزوايا بزوايا داخلية متناظرة.
فلنفترض وجود زوج من الخطوط المتقاطعة، تشكل زاوية داخلية في A، فإن الزاوية المقابلة لها تكون رأسيًا متساوية مع A.
شرح نظريات الخط والزاوية
عند رسم خطين متوازيين يتقاطعان مع خط ثالث، يجب تذكر أنه يمكن استخدام علاماتالتجزئة (≫) للإشارة إلى أن الخطين متوازيين، ويُطلق على هذا الخط الثالث اسم المستعرض.
لاحظ أنه يتم إنشاء أربع زوايا عندما يتقاطع المتصفح مع كل خط، وتحتوي كل زاوية تم إنشاؤها بواسطة المتصفح والخط العلوي على زاوية مقابلة مع زاوية يتم إنشاؤها بواسطة المتصفح والخط السفلي، ويتم تمييز الأزواج المقابلة للزوايا بالألوان المشفرة أدناه.
كيف تعتقد أن هذه الزوايا المقابلة مرتبطة ببعضها؟
قد يشير حدسك ومعرفتك بالترجمة إلى أن هذه الزوايا متطابقة، ولكن تخيل ترجمة إحدى الزوايا على طول المستوى حتى تتقاطع مع الخط الموازي الثاني.
سيكون للزاوية المقابلة لها نفس القياس، ويُعرف هذا باسم فرضية الزاوية المقابلة
- عند قطع خطين متوازيين بواسطة عرضية، تتطابق الزوايا المتقابلة.
- يتم قبول المسلمة كحقيقة بدون دليل، ويجب على الشخص تذكر ذلك.
- يجب أن تقنعك معرفتك بالترجمة بأن هذه الفرضية صحيحة.
لنلقي نظرة على بعض الأمثلة المتعلقة بالمشكلات.
- تنشأ الزوايا الرأسية عند تقاطع خطين، وتشكِّل زوجًا من الزوايا المتقابلة.
- يثبت أن الزوايا الرأسية متطابقة.
- من خلال هذا الدليل، لن يتم تزويدك بصورة محددة.
- في حال عدم توفير صورة، فمن المفيد إنشاء صورة عامة للإشارة إليها في الدليل.
- من المهم ألا يحتوي الصورة على أي معلومات لا يمكن افتراضها.
- فيما يلي صورة عامة للخطوط المتقاطعة ذات الزوايا المرقمة كمرجع.
أنواع الزوايا
تشير الدراسات الهندسية الخاصة بك إلى وجود زوايا حادة وصحيحة ومنفرجة، وربما تعرفت أيضًا على الزوايا المستقيمة والانعكاسية، ولكن إذا كنت تريد المزيد، فيمكنك استكشاف العديد من أنواع الزوايا الأخرى، مثل الزوايا الخارجية والداخلية.
يمكن التعرف فيها على الزوايا المتطابقة والمجاورة والعمودية والمتناظرة والمتناوبة أيضًا، حيث قبل الانخراط في ذلك، دعنا نحدد الأنواع المختلفة من الزوايا التي يمكن دراستها:
- الزوايا المتطابقة.
- الزوايا المجاورة.
- الزوايا العمودي.
- الزوايا المتوافقة.
- الزوايا الخارجية.
- زوايا خارجية متتالية.
- الزوايا الخارجية البديلة.
- الزوايا الداخلية.
- زوايا داخلية متتالية.
- الزوايا الداخلية بديلة.
العلاقات بين الزاوية
بالإضافة إلى قياس الدرجات، يمكنك أيضاً مقارنة الزوايا والنظر إلى علاقاتها بالزوايا الأخرى. ويتم التحدث عن علاقات الزوايا لأننا نقوم بمقارنة الموضع والقياس والتطابق بين زاويتين أو أكثر.
- عند تقاطع خطوط أو مقاطع منها، يتكون زوجان من الزوايا الرأسية كمثال.
- عندما يتقاطع خطان متوازيان في شكل مستعرض للعلاقات المعقدة، مثل الزوايا الداخلية المتناوبة والزوايا المتناظرة، فإن ذلك يؤدي إلى تعقيد الشكل.
ستجعلك القدرة على تحديد العلاقات بين الزاوية ، والعثور بثقة على زوايا متطابقة عندما تتقاطع الخطوط ، طالب هندسة أفضل، كما ستحل المشكلات المعقدة بشكل أسرع عندما تكون على دراية كاملة بجميع أنواع العلاقات الزاوية.