أمثلة على أولويات العمليات الحسابية

ترتيب العمليات الحسابية

في مادة الرياضيات، هناك مجموعة من الإشارات الحسابية المختلفة المستخدمة في المعادلات والمسائل. إشارة اليساوي ترمز لها بالرمز `=` واستخدمها الرياضي الإنجليزي روبرت ريكورد. أما إشارة الزائد والناقص (+)(-) فاستخدمهما الرياضي الألماني ويدمان. أما إشارتي الأكبر والأصغر التي ترمزان بــ (>)(<) فاستخدمهما الرياضي الإنجليزي هاريوط. تستخدم هذه الإشارات الحسابية في حساب المعادلات والمسائل والعمليات المختلفة.

تظهر ترتيب العمليات الحسابية في القاعدة الأساسية التي تحدد أولويات العمليات الحسابية المعطاة لحل المسألة. قد تحتوي المسألة على عدة عمليات حسابية، ويجب تنفيذ كل عملية بعد الأخرى وفقا للقواعد المحددة للوصول إلى حل جبري يتألف من أكثر من عملية حسابية. تتجلى العمليات الحسابية في

• عملية الجمع
• عملية الضرب
• عملية الطرح
• عملية القسمة
• القوى والأس
• الأقواس
• الجذور

عندما تتضمن المسألة عدة عمليات حسابية داخل العبارة الجبرية، يجب تنفيذها وفقا لأولويات محددة بناء على العمليات الموجودة في هذه العبارة، والترتيب الصحيح لإجراء العمليات الحسابية هو

• يجب حل العمليات الموجودة داخل الأقواس أولاً، ثم الانتقال إلى العمليات التي تتواجد خارج الأقواس.
• تحتاج العملية الحسابية التي تشمل القوى والجذور إلى البدء بهذه العمليات أولًا، حيث تعد هذه العمليات الأقوى، ولذلك يجب تنفيذها في المرحلة الأولى.
• الضرب والقسمة هما عمليتان حسابيتان ذات مرتبة وقوة متساويتين، لذلك يجب إجراؤهما قبل الجمع والطرح في المسائل الحسابية، ولكن في بعض المعادلات يتم استخدام الضرب والقسمة معا، وفي هذه الحالة يتم تحديد الترتيب والأولوية وفقا لموقعهما في المسألة. إذا كان المقدار مكتوبا باللغة العربية، فيجب إجراء العملية الحسابية التي تقع أولا في جهة اليمين، وإذا كانت المسألة باللغة الإنجليزية، فالأولوية للإشارة الموجودة في الجهة اليسرى .
• عند إجراء جميع العمليات الحسابية المذكورة سابقا، يتم إجراء عمليتي الجمع والطرح. وعند مقارنة هاتين العمليتين، يتم اختيار الإشارة حسب موقعها في المسألة. وعند كتابة المقدار باللغة العربية، يتم إعطاء الأولوية للإشارة الموجودة في الجهة اليمنى، بينما في اللغة الإنجليزية، يتم إعطاء الأولوية للإشارة الموجودة في الجهة اليسرى .

مسائل على ترتيب العمليات الحسابية

في الرياضيات، تعتبر ترتيب العمليات هي القواعد التي يجب اتباعها بتسلسل للوصول إلى نتيجة صحيحة، ومن أمثلة ترتيب العمليات الحسابية:

ما هو الناتج من مسألة الحساب التالية: 4 × (5 + 3) =

• في هذه المسألة الحسابية، تكون الأقواس هي الأولوية، ويجب إجراء العمليات داخل الأقواس أولاً: 5+3=8.
• ننتقل في العملية الحسابية إلى الضرب ويتم ضرب الرقم الثامن بالرقم الرابع والناتج هو 32.
• أي العملية تمت كما يلي:  4x(5+3)= 4x(8)=32.

المثال الثاني: ما هو الناتج من عملية الحساب 5 × 22؟

• يتمحور الأساس في العملية الحسابية التالية حول القوة أو الأس، 2 أس 2 يساوي 4.
• ثم ننفذ عملية الضرب 4*5=20.
• أي العملية الحسابية يتم حلها كما يلي : 20=5x 4=5 × 2 ² 

ما هو ناتج المسألة الحسابية الثالثة 2 + 5 × 3؟

• يجب أن نعطي الأولوية في العملية الحسابية التالية للضرب لضرب العدد ثلاثة بالعدد خمسة، مما ينتج عنه العدد 15.
• نقوم بعملية الجمع ونضيف 2 إلى الناتج السابق 15 ليكون الناتج 17.
• أي العملية الحسابية يتم حلها كما يلي : 3*5+2=15+2=17.

ما هو الناتج الناتج عن ضرب 5 × 3 مع إضافة 30؟ المثال الرابع

• الأولوية في المسألة الحسابية التالية لعملية القسمة أو الضرب فهما عمليتان لهما نفس الترتيب في القوة في ترتيب العمليات الحسابية ولكن يجدر بنا التنويه أنه يجب أن نبدأ من العملية التي تأتي أولًا فتكون من الجهة اليمنى في اللغة العربية، أما في اللغة الإنجليزية تكون من الجهة اليسرى، وهنا في المسألة المُدرجة في اللغة العربية يجب أن نبدأ من الجهة اليمنى وبالتالي نطبق عملية القسمة أولًا ثم الضرب.
• أي العملية الحسابية يتم حلها كما يلي: 305*3=6*3=18.

المثال الخامس ما هو حل المسألة الآتية: 16-3×(8-3)² ÷5=؟

• في المسألة الحسابية التالية، يتم إعطاء أولوية للعملية داخل الأقواس، وبالتالي 8-3=5.
• ثم تأتي الأولوية الثانية لعملية الأس الموجودة على الأقواس: (5)²=25
• تأتي عملية الضرب والقسمة في المرتبة الثالثة من الأولويات، ولكن يجب البدء بالعملية التي تأتي أولاً في المعادلة. وبالتالي، نبدأ هذه المعادلة من اليمين، ويجب تنفيذ عملية الضرب أولاً 3 × 25 = 75، ثم عملية القسمة 75 ÷ 5 = 15.
• والأولوية الرابعة لعملية الطرح.
• أي العملية الحسابية يتم حلها كما يلي : 16-3×(8-3)² ÷5= 16-3*(5)² ÷5= 16-3*(25) ÷5=16-75÷5 = 16-15=1.

ما هو الناتج المثل السادس للعملية الحسابية 2×6+3

• يجب تنفيذ عملية الضرب أولًا لأنها تعتبر أقوى من عملية الجمع وفقًا لترتيب العمليات الحسابية، وبالتالي يجب ضرب الرقم اثنان في الرقم ستة للحصول على الإجابة 12.
• ثم يتم جمع الرقم الذي ينتج عن ضرب العددين بالرقم ثلاثة؛ 12 + 3 = 15.

ما هو الناتج من المسألة الحسابية 320 ÷ 8 – 2 × 9؟ المثال السابع

• أولاً، ينبغي تنفيذ عملية القسمة لأن العملية الحسابية مكتوبة على الجانب الأيمن، لذلك يتم تنفيذها قبل عملية الضرب، مثلاً: 320÷8 = 40.
• نحصل على حاصل الضرب بعد عملية الضرب والقسمة، وهي أقوى من عمليات الجمع والطرح، 9 × 2 = 18.
• ومن ثم نطبق عملية الطرح.
• فيتم تطبيق حل هذه المسألة كالتالي: 320÷8-2×9= 40-18=22.

أولويات العمليات الحسابية في البرمجة

تشبه العمليات الحسابية في البرمجة العمليات الحسابية التي نستخدمها في حل المسائل والمعادلات الرياضية، حيث يتم تحديد أسبقية المعاملات وترتيبها حسب الأولوية، والتي تتجلى في

• ما بين أقواس().
• الأس أو القوى.
• عملية القسمة و عملية الضرب *.
• عملية الطرح والجمع.

قوانين العمليات الحسابية

إن هناك ثلاث قوانين من قوانين العمليات الحسابية وتتجلى في:

قانون التبادل

• يعرف قانون التبادل في عملية الجمع بأنه حاصل جمع الأعداد لا يتأثر بترتيب ظهور الأعداد في التمرين، وبالتالي يمكن لأي عددين a و b أن يتم جمعهما بأي ترتيب، فسيكون حاصل جمع a + b مساويًا لحاصل جمع b + a، وهذا يعني أن ترتيب الأعداد لا يلعب أي دور في النتيجة النهائية، على سبيل المثال 8 + 3 = 3 + 8 وستكون النتيجة هي نفس الحالتين متساوية.
• يتعلق قانون الضرب في عملية الضرب بحاصل ضرب الأعداد، ولا يتعلق بظهور الأعداد في التمرين، حيث يكون حاصل ضرب a * b مساويًا لحاصل ضرب b*a لأي عددين a و b.
• لا يمكن تحقيق قانون التبادل في عمليتي الطرح والقسمة.

قانون التجميع

• يتيح قانون التجميع في الجمع الذي يتكون من ثلاثة أعداد أو مضافات،إمكانية جمع الأعداد أو المضافات من اليسار إلى اليمين، أو جمع المضافين الأخيرين ثم إضافة الناتج للعدد الأول، وهذا القانون يسهل عملية الحساب.
• يتضمن قانون التجميع في الضرب ثلاثة عوامل، ويمكن ضرب الأعداد من اليسار إلى اليمين أو ضرب العاملين الأخيرين ثم ضرب حاصل ضربهما في العامل الأول.
• قانون التجميع لا يمكن تطبيقه في عمليتي الطرح والقسمة.

يتميز قانون التوزيع بالأرقام الثلاثة a.(b+c)، حيث نقوم بضرب a في b ونضرب a في c، ثم نجمع حاصلي الضرب.