أقسام الخاصية التبديلية في الرياضيات .. وأمثلة عليها

الخاصية التبديلية

هي خاصية جبرية تميز الجمع والضرب، وتثبت في الحالة الأولى (الجمع) يحدث ذلك من خلال تغيير ترتيب الإضافات للمسألة الحسابية لا يحدث آي تغير في النتيجة، في الحالة الثانية (الضرب) تظهر الخاصية التبديلية من خلال أنه يمكن تغيير ترتيب العوامل الخاصة بالمسألة الحسابية وعلى الرغم من ذلك لا يتغير الناتج النهائي.

لتوضيح ذلك بشكل أفضل، يجب أن نأخذ في الاعتبار العمليات الحسابية الأربع الأساسية: الجمع والطرح والضرب والقسمة، وسيتم شرح الغرض من ذلك في الشرح التالي.

الخاصية التبديلية مجردة:

يُقال أن العملية الثنائية لها الخاصية (ج)، إذا كان من النوع الذي للتالي: ( R ب = ب R )حيث R هو رمز لتشغيل العنصر (ب) على أي واحد يعمل هذه الخاصية (ج)، وتحمل على سبيل المثال من أجل الجمع وللحاصل الضريبي العادي:

إذا كان (ب، أ) رقمين حقيقيين، بمعنى أنهما يمثلان كسورا عادية أو أعدادا صحيحة

لدينا: ب + أ = ب + أ؛ أ ب = ب أ؛ وينطبق الشيء نفسه على الناتج القياسي للمتجهين: أ ∙ ب ​​= ب ∙ أ، بينما لا ينطبق على المنتج المتجه المتناوب: أ × ب = ب × أ.

في مجموعة، حلقة، جسم، إلخ، الخاصية (ج)، الناتج يكون غير صالح بشكل عام؛ تسمى المجموعات التبديلية مجموعات أبيليان، وتسمى الهيئات التبديلية الحقول، والتفسير هو أن تستخدم الخاصية التبديلية للجمع والضرب ولكن ليس للطرح أو القسمة.

أمثلة على الخاصية التبديلية

لنبدأ بمثال ثم دعونا نرى كل شيء بالتفصيل:

• لنأخذ العددين 15 و 5.
• ثم دعنا نضيفهم: 15 + 5 = 20.
• دعونا نتبادلها ونرى ما سوف ينتج: 5 + 15 = 20.

بدلاً من ذلك:

• تتضح الخاصية التبديلية في عملية الطرح: ١٥-٥ = ١٠، وعند عكس العملية الحسابية ستجد نفس النتيجة، ولكن بالسالب ٥-١٥ = -١٠.
• وكذلك تجد الخاصية التبديلية في العمليات الحسابية في عمليات الضرب: 15 × 5 = 75 وأيضًا 5 × 15 = 75.
• وتجد الخاصية التبديلية عند بإجراء عمليات حسابية كالقسمة: يكون 15 ÷ 5 = 3، ولكن عند تبديل ترتيب الأعداد يكون الناتج رقم 3 ولكنه رقم عشري: 5 ÷ 15 = 0.3

خاصية الإبدال في الجمع

نعلم جميعاً أن 6 + 4 = 10، وأن 4 + 6 = 10 أيضاً، وبمعنى آخر، فإن الخاصية التبديلية تنطبق على الجمع، وتشير إلى أن تبديل ترتيب الأعداد المجمعة لا يؤثر على النتيجة.

حتى الآن، تم العمل مع الأعداد الطبيعية، ومع ذلك، فإن الخاصية التبديلية لا تزال صالحة حتى إذا تم العمل بالأرقام النسبية أو الأرقام المنطقية الصحيحة، على سبيل المثال، عند حساب المجموع بين -30 و25، سيتم الحصول على:

• (-30) + 25 = -5
• 25 + (-30) = -5

نفس الكلام المطابق لمجموع الكسور:

الخاصية التبديلية في الضرب

يتم تكرار نفس العملية عند استخدام خاصية الضرب القابلة للتبديل، كما هو موضح في الخط الموجه: 3 × 2 = 6 (شرائح خضراء) وأيضاً 2 × 3 = 6 (شرائح زرقاء)

خاصية تبديلية الضرب

يصف الخاصية التبديلية للضرب في جملة واحدة أن تبديل ترتيب العوامل لا يؤثر على النتيجة، وسنحاول تطبيق هذا المفهوم في المثال التالي

تتمثل العملية في ضرب الرقم 23 في الرقم 121 في العمود

في هذه الحالة، يظل الناتج ثابتًا إذا قمنا بحساب الأعداد المنطقية أو الأعداد النسبية بدلاً من الأعداد الطبيعية.

الخاصية التبديلية والحسابات السريعة

تلعب الخاصية التبديلية والخاصية الترابطية دورًا رئيسيًا في إجراء الحسابات السريعة أو الحسابات الذهنية التي تتم دون استخدام الآلة الحاسبة.

أمثلة على الخواص التبديلية

نحسب العمليات التالية بدون استخدام الآلة الحاسبة وبدون ورق وقلم:

يمكن القيام بتنفيذ هذه الخطوات بالترتيب المحدد ، ولكن ذلك ليس سريعًا وفوريًا.

لنبدأ من 1): من خلال استخدام الخاصية التبديلية، يمكننا كتابة المعادلة على النحو 17 + 3 + 12 + 88، وبفضل الخاصية الترابطية يمكننا جمع الأعداد الأولية والأعداد الأخيرة

بالتطبيق أيضًا في 2) الخاصية التبديلية للضرب، سيكون لدينا:

الخاصية التبديلية للجمع على خط الأعداد

أستخدام الخاصية التبديلية يظهر بوضوح ويتضح أكثر في المثال التالي:

عندما نريد إضافة الرقم 4 إلى الرقم 11، فذلك يعني أننا نريد جمعهما، ولتحقيق ذلك يجب تحديد موقع الرقم 11 على الخط، ثم القيام بأربع قفزات على الخط إلى الرقم 15.

خصائص عملية الجمع

الخاصيّة التبديليّة

الخاصيّة الرياضيّة التي منها يتضح أن: يُطلق على الخاصية التي تحدث عند جمع عددين متساويين بغض النظر عن ترتيبهما أو موضعهما اسم الخاصية التبادلية، وتترجم بالإنجليزية إلى Commutative property.

أي أن: الجمع لديه خاصية الانتقالية (أ + ب = ب + أ)؛ على سبيل المثال، 10 + 5 = 15 و 5 + 10 = 15. في هذين المثالين، تكون نتيجة الجمع متساوية بقيمة 15 على الرغم من تباين ترتيب الأعداد.

الخاصيّة التجميعيّة

الخاصيّة الرياضيّة التي توضّح أنّ: (الناتج الذي يتم الحصول عليه عند جمع مجموعة من الأعداد الحقيقية يبقى ثابتا عند تغيير أي من الأعداد الموجودة داخل القوس، أو عند تغيير ترتيب جمع الأعداد)، ويعرف هذا النوع من الخواص باسم خاصية الجمعية (وتسمى بالإنجليزية Associative Property).

غالباً ما تتكون مجموعة الأعداد من ثلاثة أرقام، ونجد أن [أ+(ب+جـ)= ب+(أ+جـ) = جـ+(أ+ب)]، وعلى سبيل المثال، نجد أن [4+(3+2)=9] و[3+(4+2)=9] أيضًا.

خاصيّة الهويّة

الخاصيّة الرياضيّة التي منها يتضّح أنّ: تسمى الخاصية التي تتمثل في أن ناتج جمع أي عدد مع الصفر يساوي العدد الأصلي بخاصية الهوية (Additive Identity Property)، وهي خاصيةمهمة في الرياضيات.

أي أن: (أ+0=أ)؛ وعلى سبيل المثال (0+3=3)، وكذلك (3+0=3).